Que vaut la racine carrée de 25? La question peut paraître banale, mais elle est très importante en mathématiques au secondaire. Et on utilise parfois des raccourcis disons discutables… Allons voir pourquoi.
Le noeud du problème
Lorsqu’on résout l’équation x2 = 25, on obtient que x peut valoir 5 ou -5. Jusque-là, ça va bien!
Et si je pose la question suivante : que vaut la racine carrée de 25? Ça peut sembler être la même question, mais pourtant il y a une nuance très importante.
Dans le cas de l’équation à résoudre, on cherche les valeurs de x pour lesquelles x au carré est égal à 25. Dans le second cas, on cherche simplement la racine carrée de 25. Et dans ce dernier cas, on fait face à la fonction racine carrée qui n’admet qu’une seule valeur puisque sinon ce ne serait pas une fonction. Donc, la racine carrée de 25 est égale à 5.
Une étape très importante!
Nous sommes capables de retrouver deux solutions lorsqu’on résout une équation du second degré parce que nous passons sans nécessairement le savoir par une étape impliquant une valeur absolue comme ci-dessous.
Mais pourquoi a-t-on besoin d’une valeur absolue lorsqu’on extrait la racine carrée d’un nombre au carré. À première vue, on a l’impression que ça ne fait qu’ajouter une étape superflue. L’exemple suivant avec un nombre négatif devrait vous permettre de comprendre sa raison d’être et ce qu’on souhaite éviter.
Lorsque x est un nombre négatif, si on part avec la fausse prémisse que la racine de x2 est égale à x, on arrive à une absurdité mathématique comme vous pouvez le constater. La valeur absolue est donc essentielle à conserver.
La véritable façon mathématique pour annuler un carré est donc :
On n’enseigne rarement cela d’emblée au secondaire (ou de façon systématique) pour deux raisons selon moi. D’une part, le symbole de valeur absolue n’est pas enseigné aux élèves de façon formelle avant la 3e secondaire et on extrait la racine carrée de nombres bien avant.
D’autre part, c’est rarement un enjeu pour nos élèves dans les problèmes qu’ils ont à résoudre de passer par cette étape, je dirais même que ce n’est jamais un enjeu.
Cependant, c’est fort utile de connaître cet élément si des élèves nous demandent davantage d’explications sur le sujet.
Si vous étiez déjà parmi les enseignants qui connaissiez cette subtilité importante, chapeau! De mon côté, ce sont différents mèmes que j’ai vu passer sur les réseaux sociaux au cours des derniers mois qui m’ont amené à me questionner sur le sujet et à finalement découvrir que j’étais souvent dans l’erreur lorsque j’appliquais certains processus. En voici d’ailleurs un exemple.
Résolution d’équations
Très tôt dans leur parcours au secondaire, les élèves seront exposés à des équations du genre :
Dans cette équation, il est tout à fait vrai d’affirmer que x peut prendre deux valeurs différentes, c’est-à-dire 4 ou -4.
Le raccourci qu’on fait souvent est qu’on dit à nos élèves que pour isoler x, on doit faire la racine carrée de chaque côté et ainsi, on se retrouve à chercher la racine carrée de 16. Pourtant, il y a deux valeurs de x dans cette équation.
On devrait plutôt se poser la question suivante : quelles sont les valeurs de x pour lesquelles x exposant 2 est égal à 16. Ou encore, quel(s) nombre(s) multiplié par lui-même est égal à 16?
Car mathématiquement, extraire la racine carrée de 16 ne donne qu’une seule valeur.
Impact sur l’évaluation en 4e secondaire
Lorsque nos élèves en 4e secondaire font la résolution d’équations du second degré, ils sont confrontés à isoler x lorsqu’il est affecté d’un exposant 2.
Devrait-on pénaliser un élève qui donne seulement la valeur positive lorsqu’il résout une équation comme x2 = 16?
Dans la séquence CST, les situations sont toujours (ou quasi) contextualisées et il est rare que la racine négative ait du sens. Quand on recherche le prix d’un article ou la longueur d’un objet, c’est trivial que la réponse sera positive. En SN, la réalité est différente. Plusieurs des situations sont décontextualisées et on a souvent besoin de connaître les deux racines afin de bien interpréter la solution et de prendre des décisions.
De mon point de vue, il faut considérer cela lorsque vient le temps d’évaluer nos élèves. En SN, il est alors important d’exiger de nos élèves qu’ils déterminent les deux solutions à l’équation du second degré. L’omission de la valeur négative pourrait être considérée comme une erreur conceptuelle. Pour ce qui est de la séquence CST, cette exigence pourrait être discutée entre les enseignants du département et des attentes communes devraient être établies dans l’équipe. Lors de l’épreuve ministérielle de juin, une omission de la valeur négative pourrait être évaluée de la même façon que dans le reste de l’année scolaire. Un enseignant qui a été très exigeant à ce sujet pendant l’année scolaire pourrait pénaliser un élève, alors qu’un autre qui a accordé très peu d’importance à cet aspect pourrait tout simplement ne pas en tenir compte.
À mon sens, si un enseignant a été très exigeant à ce sujet pendant l’année en CST, un oubli d’inscrire la valeur négative peut être associé à une trace implicite et être pénalisé au critère 4. Il est difficile de présumer que c’est une erreur d’application surtout si l’on a mis de l’emphase à ce sujet pendant toute l’année scolaire.
Quelles sont les autres sujets de ce genre qui font l’objet de débat dans vos milieux ou qui mériteraient des explications ou des éclaircissements? Merci de me faire parvenir vos idées : martin.roy005@csssamares.gouv.qc.ca. Je tenterai de faire la lumière sur ces sujets! 🙂
Je me suis également amusé à créer mon propre mème sur le thème du présent article.
